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  • [집합론] 집합과 러셀의 역설
    Math/Set Theory 2022. 12. 18. 16:06

    집합의 정의

    집합은 주어진 성질을 만족시키는 대상들의 모임이다. 

    이때 집합 $A$에 대해 두 명제 $x\in A$ 또는 $x\notin A$ 중 하나만 참이 될 수 있다.

     

    집합을 나타낼 수 있는 방법은 크게 세 가지가 있다.

    1. 자연서 설명 

    ex) 집합 $A$는 원소가 10 이하인 자연수이다.

     

    2. 원소나열법

    ex) $A=\left\{1, 2, 3, 4\right\}$

     

    3. 조건제시법

    집합의 원소를 대입했을 때만 참이 되는 조건을 제시하여 집합을 나타낸다.

    즉, $ A=\left\{ x | P(x) \right\} $ 에서 조건 $P(x)$는 $A$의 원소를 넣었을 때만 참이 된다.

    ex) $A=\left\{ x | x는 자연수 \right\}$ , $ B=\left\{n^{2} | n\leq10\right\} $ 등

     

     

    집합의 부분집합과 같은 집합

    집합 $A$의 모든 원소가 집합 $B$의 원소일 때, $A$는 $B$의 부분집합이다. 

    이를 이렇게 나타낸다 : $A\subseteq B$

     

    참고로 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.

    $\varnothing \subseteq A $

     

    집합 $A$의 모든 원소가 집합 $B$의 원소이고 동시에 집합 $B$의 모든 원소가 집합 $A$의 원소일 때, 

    이 두 집합은 '같다'고 한다. 

    즉 $A=B$ 라는 말은 $A\subseteq B \wedge  B\subseteq A$과 동일하다. 

     

     

    러셀의 역설

    집합 $A$를 조건제시법을 이용해 다음과 같이 나타내보자.

    $A=\left\{x|P(x)\right\}$, 단 $P(x)=x\notin x$ 

     

    즉 집합 $A$는 '자기 자신을 원소로 갖지 않은 집합'의 집합이다. 

    예를 들어 $B=\left\{1\right\}$라고 하자. 

    이때 $B \notin B$ 이므로 $B \in A$ 이다. 

     

    그렇다면 $A \in A$ 인가?

     

    집합의 정의 부분에서 '집합 $A$에 대해 두 명제 $x\in A$ 또는 $x\notin A$ 중 하나만 참이 될 수 있다' 라고 했다.

    각각의 경우에 대해 살펴보자.

     

    1. $A\in A$인 경우

    $P(A)$가 거짓이다. 따라서 $A\notin A$이므로 모순이다.

     

    2. $x\notin A$인 경우

    $P(A)$가 참이다. 따라서 $A\in A$이므로 다시 모순이다.

     

    결국 어느 경우에도 모순이 발생한다. 이것이 바로 러셀의 역설이다.

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