[집합론] 집합과 러셀의 역설

집합의 정의

집합은 주어진 성질을 만족시키는 대상들의 모임이다. 

이때 집합 $A$에 대해 두 명제 $x\in A$ 또는 $x\notin A$ 중 하나만 참이 될 수 있다.

 

집합을 나타낼 수 있는 방법은 크게 세 가지가 있다.

1. 자연서 설명 

ex) 집합 $A$는 원소가 10 이하인 자연수이다.

 

2. 원소나열법

ex) $A=\left\{1, 2, 3, 4\right\}$

 

3. 조건제시법

집합의 원소를 대입했을 때만 참이 되는 조건을 제시하여 집합을 나타낸다.

즉, $A=\left\{ x | P(x) \right\}$ 에서 조건 $P(x)$는 $A$의 원소를 넣었을 때만 참이 된다.

ex) $A=\left\{ x | x는 자연수 \right\}$ , $B=\left\{n^{2} | n\leq10\right\}$ 등

 

 

집합의 부분집합과 같은 집합

집합 $A$의 모든 원소가 집합 $B$의 원소일 때, $A$는 $B$의 부분집합이다. 

이를 이렇게 나타낸다 : $A\subseteq B$

 

참고로 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.

$\varnothing \subseteq A$

 

집합 $A$의 모든 원소가 집합 $B$의 원소이고 동시에 집합 $B$의 모든 원소가 집합 $A$의 원소일 때, 

이 두 집합은 '같다'고 한다. 

즉 $A=B$ 라는 말은 $A\subseteq B \wedge  B\subseteq A$과 동일하다. 

 

 

러셀의 역설

집합 $A$를 조건제시법을 이용해 다음과 같이 나타내보자.

$A=\left\{x|P(x)\right\}$, 단 $P(x)=x\notin x$ 

 

즉 집합 $A$는 '자기 자신을 원소로 갖지 않은 집합'의 집합이다. 

예를 들어 $B=\left\{1\right\}$라고 하자. 

이때 $B \notin B$ 이므로 $B \in A$ 이다. 

 

그렇다면 $A \in A$ 인가?

 

집합의 정의 부분에서 '집합 $A$에 대해 두 명제 $x\in A$ 또는 $x\notin A$ 중 하나만 참이 될 수 있다' 라고 했다.

각각의 경우에 대해 살펴보자.

 

1. $A\in A$인 경우

$P(A)$가 거짓이다. 따라서 $A\notin A$이므로 모순이다.

 

2. $x\notin A$인 경우

$P(A)$가 참이다. 따라서 $A\in A$이므로 다시 모순이다.

 

결국 어느 경우에도 모순이 발생한다. 이것이 바로 러셀의 역설이다.