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Math/Set Theory

• [집합론] 동치류, 동치류의 집합과 분할

  Math/Set Theory 2023. 1. 24. 13:32

  동치류와 동치류의 집합 동치류는 집합 위에서 동치관계가 정의될 때, 어떤 원소와 동치관계에 있는 원소들의 집합을 말한다. 즉, 집합 $X$ $($단, $X\neq \emptyset$$)$와 $X$ 위에서 정의된 동치관계 $\sim \subseteq (X \times X)$에서, $X$의 각 원소 $x$에 대해 $x$의 동치류는 $x/\sim = \left\{y | (x, y) \in \sim\right\}$ 으로 정의된다. 동치류의 집합은 $($당연하게도$)$ 이러한 동치류들을 모두 모아놓은 집합이다. 즉, 집합 $X$의 동치류의 집합은 $X/\sim = \left\{x/\sim | x \in X \right\}$으로 나타낼 수 있다. ex) 집합 $X = \left\{1,2,3\right\}$을 생각해..

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• [집합론] Partition과 동치관계

  Math/Set Theory 2023. 1. 14. 14:23

  동치관계란? 집합 $X$에서 정의된 relation 중에서 reflexive이고 symmetric이며 transitive인 relation을 동치관계라고 한다. $참고 : https://hellworld.tistory.com/8$ 말로 풀어서 쓰면 역시 복잡해보이지만, 우리가 잘 알고 있는 많은 relation들은 동치관계이다. 동치관계의 예시로는 등호, 닮음 등의 관계가 있다. 집합을 원소나열법으로 나타내어 예시를 들자면 아래와 같은 relation이 동치관계이다. ex) 집합 $X = \left\{1,2,3,4\right\}$에 대해 $X$ 위에서 정의된 relation $R \subseteq X \times X$ 중에서 $R_{1} = \left\{$1,1$, $2,2$, $3,3$, $4,4$ \..

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• [집합론] Partition과 Block

  Math/Set Theory 2022. 12. 31. 14:41

  Partition Partition의 정의 Partition$($분할$)$은 어떠한 집합 $X$를 겹치지 않고 나누는 부분집합들의 집합을 말한다. ex) 집합 $A=\left\{1,2,3\right\}$에 대해 $A$의 partition으로 $\left\{\left\{1,2\right\}, \left\{3\right\}\right\}$ 등이 있다. 어떤 집합 $\left\{B_{i}\right\}$가 집합 $A$의 partition이라면 다음 세 조건을 만족한다. 1. $\forall B_{i} \neq \emptyset$ , 즉 partiton의 모든 원소는 공집합이 아니어야 한다. 2. If $i \neq j$ then $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ , 즉 partiti..

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• [집합론] 대응관계 $($Relation$)$

  Math/Set Theory 2022. 12. 24. 19:16

  대응관계 집합론에서 '관계', relation은 곱집합의 부분집합으로 정의한다. 이때 두 집합의 곱집합$($데카르트 곱$)$은 아래와 같이 정의한다. 집합 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, ... \right\}$, 집합 $B=\left\{b_{1}, b_{2}, ... \right\}$에 대해 곱집합 $A \times B = \left\{(a, b) | a \in A, b \in B\right\}$이다. ex) 집합 $A=\left\{1,2,3\right\}$, 집합 $B=\left\{a,b,c\right\}$에 대해, 곱집합 $A\times B$는 다음과 같다. $A \times B = \left\{$1,a$, $1,b$, $1,c$, $2,a$, $2,b$, $2,c$, $3,a$, (3,..

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• [집합론] 집합과 러셀의 역설

  Math/Set Theory 2022. 12. 18. 16:06

  집합의 정의 집합은 주어진 성질을 만족시키는 대상들의 모임이다. 이때 집합 $A$에 대해 두 명제 $x\in A$ 또는 $x\notin A$ 중 하나만 참이 될 수 있다. 집합을 나타낼 수 있는 방법은 크게 세 가지가 있다. 1. 자연서 설명 ex) 집합 $A$는 원소가 10 이하인 자연수이다. 2. 원소나열법 ex) $A=\left\{1, 2, 3, 4\right\}$ 3. 조건제시법 집합의 원소를 대입했을 때만 참이 되는 조건을 제시하여 집합을 나타낸다. 즉, $A=\left\{ x | P(x) \right\}$ 에서 조건 $P(x)$는 $A$의 원소를 넣었을 때만 참이 된다. ex) $A=\left\{ x | x는 자연수 \right\}$ , $ B=\left\{n^{2} | n\leq10\ri..

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