[계산논리] 명제논리의 문법 1. 명제 변수와 연결사

불좀 꺼줄래? 는 명제가 아니다. 램을 보라는 명령문이다.

 

 

명제란 무엇일까?

 

명제는 일반적으로 참과 거짓을 판단할 수 있는 '문장'을 말한다.

간단하게 예시를 들자면, '조지 루카스는 사람이다', '남산타워의 높이는 100km이다' 등이 있다.

첫 문장은 '참'이며, 두 번째 문장은 당연히 '거짓'이다. 

 

남산타워의 높이는 236.7m이다

 

 

 

이렇게 참과 거짓을 가릴 수 있는 문장을 명제라고 한다.

 

명제가 아닌 문장으로는 '학교에 가다', '불좀 꺼줄래?' 등이 있겠다.

이러한 문장 들은 참과 거짓을 가릴 수 없기에 명제라고 할 수 없는 것이다. 

 

 

하지만, 수학에서 이런 '자연어'를 다루기에는 문제가 있다.

번거롭기도 하고, 자연어를 사용하면 문장의 의미가 모호해질 수 있기 때문이다.

 

따라서 명제를 수학적인 기호로 나타낸 것이 바로 명제식이다.

명제식은 '명제 변수'와 '연결사'로 구성된다.

 

 

명제 변수

 

명제 변수는 '참'이 될 수도 있고, '거짓'이 될 수도 있는 변수를 말한다. 

$($편의상, 다음 글 부터는 '참'과 '거짓'을 T, F로 나타낼 것이다. 0, 1도 같은 의미이다.$)$

 

이렇게 표현하자면 헷갈릴 수도 있겠으나, 일반적인 변수를 떠올리면 쉽게 이해할 수 있다.

예를 들어서 $x+2=3$이라는 일차방정식의 $x$는 변수이다. 

이 변수에는 어떤 값도 대입할 수 있으며, 1을 대입하면 등호가 성립한다.

 

마찬가지로 명제 변수도 T, F 또는 0, 1을 대입할 수 있는 변수를 말한다고 볼 수 있다. 

 

 

 

 

연결사

 

연결사는 명제 변수들을 연결해주는 기호를 말한다.

연결사를 통해 두 개 이상의 명제 변수를 연결하여 새로운 명제식을 만들어낼 수 있다. 

연결사로는 $\wedge$ $($and$)$, $\vee$ $($or$)$, $\neg$ $($not$)$ 등이 있다. 

의미는 영어 단어 그대로이다. 

 

이해하기 쉽게 문장으로 나타낸 명제가 연결사로 어떻게 연결되는지 알아보자. 

다음 글 부터는 문장으로 나타낸 명제를 사용하지 않을 것이다. 

 

 

1. $\neg$, NOT

우선 가장 간단한 $\neg$ $($negation이라고 읽는다$)$부터 보자면, 명제의 값을 뒤집는다.

즉, 참인 명제는 거짓으로, 거짓인 명제는 참으로 만든다고 할 수 있겠다. 

$\neg$$($조지 루카스는 사람이다$)$ 는 거짓,

$\neg$$($남산타워의 높이는 100km이다$)$는 참이다. 

 

 

2. $\vee$, OR

두 번째로 $\vee$ $($or$)$는 두 명제를 '또는'의 의미로 연결한다.

즉, 두 명제중 하나만 참이면 '또는'으로 연결된 명제는 참이 되는 것이다.

 

$($조지 루카스는 사람이다 $)$ $\vee$ $($남산타워의 높이는 100km이다$)$라는 명제를 생각해보자.

이 명제는 '조지 루카스는 사람이다, 또는 남산타워의 높이는 100km이다' 정도로 해석된다.

이때 남산타워의 높이는 100km가 아니지만 위의 명제는 참이라는 것을 알 수 있다.

 

다른 예시도 생각해보자.

$($지구는 태양계에서 가장 큰 행성이다$)$ $\vee$ $($라흐마니노프는 일본 사람이다$)$라는 명제를 생각해보자.

두 명제 모두 거짓이다. $($라흐마니노프는 러시아 제국 출생으로, 나중에 미국으로 망명했다$)$

따라서 두 명제를 '또는'으로 묶어봤자 전체 명제 역시 거짓이 된다.

 

 

3. $\wedge$, AND

세 번째로 $\wedge$ $($and$)$는 두 명제를 '그리고'의 의미로 연결한다.

즉, 두 명제 모두 참이어야만 연결된 명제가 참이 되며 하나라도 거짓이면 연결된 명제는 거짓이 된다.

 

$($조지 루카스는 사람이다 $)$ $\wedge$ $($남산타워의 높이는 100km이다$)$라는 명제를 생각해보자.

이 명제는 '조지 루카스는 사람이고, 남산타워의 높이는 100km이다' 정도로 해석된다.

쉽게 위의 명제가 거짓임을 알 수 있다. 

 

다른 명제도 생각해보자.

$($소크라테스는 사람이다$)$ $\wedge$ $($소크라테스는 죽었다$)$라는 명제를 생각해보자.

'소크라테스는 사람이고, 소크라테스는 죽었다'정도로 해석할 수 있겠다.

이때 두 명제 모두 참이므로 두 명제를 '그리고'로 연결한 명제 역시 참임을 알 수 있다. 

 

 

4. $\rightarrow$, IMPLICATION

네 번째로 $\rightarrow$ $($implication$)$은 '함의'를 뜻한다. 

이는 앞의 명제가 참일 때 뒤의 명제가 참이라면 전체 명제가 참이 된다.

그리고 앞의 명제가 거짓이고 뒤의 명제가 참일 때만 전체 명제가 거짓이 된다.

굳이 해석하자면 '만약'의 의미를 갖는다.

 

이 부분은 명제 논리를 공부하면서 가장 헷갈리는 부분중에 하나이기에 자세히 설명할까 한다. 

 

$($명제 ①$)$ $\rightarrow$ $($명제 ②$)$에서 각 명제가 참/거짓인 4가지 경우를 각각 살펴보자.

 

1. ①, ② 모두 참인 경우

딱히 어려울 것 없이 전체 명제가 참임을 쉽게 이해할 수 있다. 

$($스타워즈 오리지널 트릴로지는 재밌다$)$ $\rightarrow$ $($스타워스 에피소드 IV는 재밌다$)$ 의 명제를 생각해보자.

앞의 명제와 뒤의 명제 모두 참이며 전체 명제 모두 참임을 파악할 수 있다. 

 

 

2. ①이 거짓이고, ②가 참인 경우

이 경우에도 전체 명제는 참이다. 

$($스타워즈 시퀄 트릴로지는 재밌다$)$ $\rightarrow$ $($스타워스 에피소드 IV는 재밌다$)$ 의 명제를 생각해보자.

앞의 명제는 거짓이고 뒤의 명제는 참이다. 그런데 전체 명제가 참인 것이 보이는가?

뒤의 명제가 참이라면 앞의 명제가 참이든 거짓이든 상관없이 전체 명제는 참이 되어버린다!

 

다른 예시로 $($1+1은 3이다$)$ $\rightarrow$ $($지구는 태양계의 행성이다$)$의 명제를 생각해보자.

'만약 1+1이 3이라면, 지구는 태양계의 행성이다' 정도로 해석할 수 있겠다.

그런데 1+1이 3이 아니라고 해서 지구가 태양계의 행성이 아닌가?

앞의 명제가 거짓이더라도 뒤의 명제가 참이기만 하면 전체 명제는 참이 되는 것이다. 

 

 

3. ①이 참이고, ②가 거짓인 경우

이 경우 전체 명제는 거짓이 된다.

$($소크라테스는 사람이다$)$ $\rightarrow$ $($소크라테스는 아직 살아있다$)$의 명제를 생각해보자.

'소크라테스는 사람이라면, 소크라테스는 아직 살아있다'라고 해석할 수 있다. 

그리고 당연히 거짓이다. 소크라테스는 죽었으니까... 

 

故 소크라테스 $($B.C 470? $\sim$ B.C 399$)$

 

4. ①, ② 모두 거짓인 경우

이 경우에도 전체 명제는 참이 된다.

$($나는 배고플 때 치킨을 먹는다$)$ $\rightarrow$ $($나는 오늘 저녁으로 치킨을 먹었다$)$라는 명제를 생각해보자. 

'나는 배고플 때 치킨을 먹는데, 오늘 저녁으로 치킨을 먹었다'라고 해석할 수 있을 것 같다.

이때 앞의 명제와 뒤의 명제가 모두 거짓일 때 이 명제는 참이다. 

나는 배고플 때 치킨을 먹지 않으며 저녁으로 치킨을 먹지도 않았다. 그렇다고 해서 위의 명제가 거짓은 아니지 않는가?

 

또 다른 예시로, $($3은 짝수이다$)$ $\rightarrow$ $($꼴뚜기는 조류이다$)$라는 명제가 있다. 

'3이 짝수라면 꼴뚜기는 조류이다' 정도로 해석될텐데... 무려 이 명제는 참이다!

3은 짝수가 아니고 꼴뚜기도 조류가 아니기 때문이다. 

 

이 부분은 그냥 그렇구나.. 하고 넘어가자.

 

 

5. $\leftrightarrow$, Equivalence

다섯번째로 동치가 있다. 이는 쉬운데, 두 명제의 참, 거짓이 동일하면 전체 명제가 참이다. 

두 명제가 모두 참이거나 거짓이면 전체 명제가 참이 되며, 서로 참, 거짓이 일치하지 않으면 전체 명제는 거짓이 된다.

 

 

진리표

 

위의 다섯개 연결사가 명제의 값을 어떻게 결정하는지를 표로 나타내어보자.

 

$A$	$B$	$\neg A$	$A\vee B$	$A\wedge B$	$A\rightarrow B$	$A\leftrightarrow B$
F	F	T	F	F	T	T
F	T	T	T	F	T	F
T	F	F	T	F	F	F
T	T	F	T	T	T	T

 

 

명제 논리가 헷갈리는 이유

 

수식으로 연결하다보면 서로 관련 없는 주제가 연결되었는데도 참과 거짓이 판단되기 때문인것 같다. 

일단 완전히 이해가 되지 않는 부분이 있다면 그런가보다 하고 넘어가는 것을 추천한다..

연습문제를 많이 풀다보면 이해될지도?